第一部分：qz​=(q/p)z

已知
p = probability an honest node finds the next block
q = probability the attacker finds the next block
q−z​ = probability the attacker will ever catch up from z blocks behind
注：p+q=1
求攻击者在落后z个区块的情况下被攻击者追上的概率。

分析：
这个问题可以等价于赌徒问题，赌徒（攻击者）本钱为−z；相当于目前落后z个区块

• 当资产为−x块时，赌徒会止损（x>z），即赌徒不能忍受损失x；相当于当攻击者发现已经落后诚实结点x个区块后，不再进行攻击。
• 当资产为0时，赌徒会收手；相当于攻击者目前区块高度与诚实结点一样，攻击成功。

赌徒赌赢的概率是q，那么赌徒的本钱为-z时，赌徒攻击成功的概率为

q−z​=q∗q−z+1​+(1−q)∗q−z−1​

目的是资产达到i，我们来看第一回合赌局，有两种可能，以q的概率赌赢，以1-q的概率赌输：

• 第一回合赌赢，第二回合赌徒的本钱为−z+1，后面基于本钱−z+1攻击成功的概率为q−z+1​；这种情况的概率为q∗qi−1​
• 第二回合赌输，第二回合赌徒的本钱为−z−1，后面基于本钱−z−1攻击成功的概率为q−z−1​；这种情况的概率为(1−q)∗qi−1​

这是一个二阶的数列，相当于解方程x=qx2+(1−q)，解得x1​=1，x2​=q1−q​。

注意：

• q0​=1：如果攻击者与诚实结点高度差异为0，那么攻击成功
• q−∞​=0：如果攻击者落后诚实结点∞个区块，攻击者放弃攻击，攻击失败。如何理解上面的表述？即攻击者在追赶的过程中无论落后多少个区块也不会放弃攻击

当x1​=x2​时，即q=21​，
q−z​=(A+B(−z))(x1​)−z=A+B(−z)
又因为q0​=1且q−∞​=0，所以qz​=1。

当x1​̸​=x2​时，
q−z​=A(x1​)−z+B(x2​)−z=A+B(q1−q​)−z

• 当q<21​时，q−∞​=0 且 q0​=1=> A=0，B=1 => q−z​=(q1−q​)−

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