洛谷3216 BZOJ2326 HNOI2011 数学作业 矩阵乘法

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题意：
给定正整数N和M，要求计算Concatenate(1..N) mod M的值，其中Concatenate(1..N)是将所有正整数 1,2,…,N顺序连接起来得到的数。N<=1e18,M<=1e9

题解：
大家都秒了这个题，就我想不出来系列。日常QAQ。

感觉比较容易想出一个O(nlogn)的做法，但是可能并不容易优化了。我们发现要求这么多项的答案，可能是个O(1)好题，可能可以O(logn)求，可能需要矩阵乘法。感觉前两个在没有什么明显规律的情况下用来做这个题并不是很靠谱，于是考虑构造矩阵。我们可以得到一个递推式：f[i]=f[i−1]∗log10i​+i (mod m)。但是我们发现f[i]只与f[i−1]有关啊，而且这个式子要加一个i啊，矩阵没法维护啊。确实，一般来讲是比较难维护的，但是这题巧妙之处就在这里。我们构造一个3*3的矩阵，其中的第1个元素表示f[i]，第二个元素表示i，第三个元素表示1，我们可以这样转移：f[i]=log10i​f[i−1]+i−1+1，i=i−1+1，1=1。于是这样就可以构造一个系数矩阵，但是我们发现log10i​是个变量，于是我们要按位数进行计算，对于每一个数字长度不大于n的长度，从小到大进行递推，然后对于每一次递推结束，记录一下矩阵第一行第一列的值，下次矩阵的第一行第一列的初始值就是这个值。写的时候还是有一些细节的，注意清空矩阵之类的。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n,mod;
long long ans[4][4],ju[4][4],fz[4][4],ji,pre,x[4][4];
inline long long ksm(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
inline void x_jc()
{
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			fz[i][j]=ju[i][j];
			ju[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			for(int k=1;k<=3;++k)
			ju[i][j]=(ju[i][j]+fz[i][k]*fz[k][j]%mod)%mod;
		}
	}
}
inline void xx_jc()
{
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			fz[i][j]=x[i][j];
			x[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			for(int k=1;k<=3;++k)
			x[i][j]=(x[i][j]+ju[i][k]*fz[k][j]%mod)%mod;
		}
	}
}
inline void ans_jc()
{
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			fz[i][j]=ans[i][j];
			ans[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		for(int j=1;j<=3;++j)
		{
			for(int k=1;k<=3;++k)
			ans[i][j]=(ans[i][j]+fz[i][k]*x[k][j]%mod)%mod;
		}
	}
}
inline void ju_ksm(long long y)
{
	while(y)
	{
		if(y&1)
		xx_jc();
		x_jc();
		y>>=1;
	}
}
int main()
{
	scanf(\"%lld%lld\",&n,&mod);
	for(int i=0;i<19;++i)
	{
		long long ji=1;
		for(int j=1;j<=i;++j)
		ji*=10;
		if(ji>n)
		break;
		long long cur=min(n,ji*10-1);
		memset(x,0,sizeof(x));
		memset(ju,0,sizeof(ju));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		x[1][1]=1;
		x[2][2]=1;
		x[3][3]=1;
		ju[1][1]=ksm(10,i+1)%mod;
		ju[2][2]=1;
		ju[3][2]=1;
		ju[3][3]=1;
		ju[2][1]=1;
		ju[3][1]=1;
		ans[1][1]=pre%mod;
		ans[1][2]=(ji%mod-1+mod)%mod;
		ans[1][3]=1;
		ju_ksm(cur-ji+1);
		ans_jc();		
		pre=ans[1][1]%mod;
	}
	printf(\"%lld\\n\",pre%mod);
	return 0;
}