《计算机视觉：模型、学习和推理》一3.7　多元正态分布

3.7　多元正态分布

图3-7　多元正态分布建立一个由D维变量x=［x1,…,xD］T决定的模型，其中x的每个元素x1,…,xD都是连续的且为任意实数。该分布由D×1维均值向量μ和D×D维协方差矩阵Σ定义，μ决定分布的均值，协方差矩阵Σ决定分布的形状。分布的等值线图是椭圆，椭圆的中心由μ决定，形状由Σ决定。该图描述了一个二元分布，其中协方差通过绘制其中一个椭圆描述
多元正态分布或多元高斯分布是一个由D维变量x决定的模型，其中x的每个元素x1,…,xD都是连续的且为任意实数（见图3-7）。同样，一元正态分布就是仅有一个变量的多元正态分布的特殊情况。在计算机视觉处理中，计算机会将图像一个区域内的D个像素的亮度联合起来建立正态分布模型。全局的状态也可以由多元正态分布描述。例如，某个物体的三维坐标（x,y,z）的联合概率就可用多元正态分布来表示。
多元正态分布有两个参数：均值μ，协方差Σ。μ是D×1向量，它描述分布的均值。协方差Σ是对称的D×D维正定矩阵，这样使任意的实向量z满足zTΣz恒为正。其概率密度函数为：



也可简写为：

在本书中，多元正态分布将经常使用，整个第5章用于阐述其性质。