Transition matrix

Let $V$ be an n-dimensional vector space and $S ={v_1,...,v_n}$, $T={w_1,cdots,w_n}$ its two s. The transition matrix $P_{Sleftarrow T}$ from $T$ to S is $n imes n$ matrix which columns are coordinates of $w_j$ in basis $S: P_{Sleftarrow T} = [[w_1]_S [w_2]_S cdots [w_n]_S]$.

Transition matrix 中文名：转移矩阵；转换矩阵；跃迁矩阵；状态转移矩阵

"过渡矩阵" 一词在许多不同的数学语境中被使用。

• 在线性代数中, 它有时被用来表示坐标矩阵的变化。
• 在马尔可夫链理论中, 它被用作随机矩阵的替代名称, 即描述过渡的矩阵。
• 在控制理论中, 状态转换矩阵是一个矩阵, 其乘积与初始状态向量在以后给出状态向量。

令 $S ={v_1,...,v_n}$, $T={w_1,cdots,w_n}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基 ( ), 若 $T = SP_{Sleftarrow T}$, 则矩阵 $P_{Sleftarrow T}$ 被称为由基 $S$ 变换到 $T$ 的过渡矩阵.

由基的性质可知, $P_{Sleftarrow T}$ 是可逆的, 即有 $S = TP_{Tleftarrow S} = TP_{Sleftarrow T}^{-1}$
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转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于 $1$，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。$P^{(k)}$ 表示 $k$ 步转移概率矩阵。

==转移概率矩阵的特征==

• $0 leq P_{ij} leq 1$
• $displaystylesum^{n}_{j=1}P_{ij}=1$，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。

由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。

==什么是转移概率==

• 转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为 $m$ 个状态组成，历史资料转化为由这 $m$ 个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态 $1, 2, cdots, m$ 中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。
• 当样本中状态 $m$ 可能发生转移的总次数为 $i$，而由状态 $m$ 到未来任一时刻转为状态 $a_i$ 的次数时，则在 $m+n$ 时刻转移到未来任一时刻状态 $a_j$ 的转移概率为：

$$P_{ij}(m,m+n)=Pleft{X_{m+n} = a_j|X_m=a_i ight}$$

这些转移移概率可以排成一个的[[转移概率矩阵]]：$P(m,m+n) (P_{ij}(m,m+n))$

• 当 $m=1$ 时为一阶转概率矩阵，$mge2$ 时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的[[预测]]。

实例

1. 假定某大学有 $1$ 万学生，每人每月用 $1$ 支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。 根据本月（12 月）调查，有 $3000$ 人使用黑妹牙膏，$7000$ 人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的 $3000$ 人中，有 $60\%$ 的人下月将继续使用黑妹牙膏，$40\%$ 的人将改用中华牙膏； 使用中华牙膏的 $7000$ 人中， 有 $70\%$ 的人下月将继续使用中华牙膏，$30\%$ 的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如下所示的统计表

上表中的 $4$ 个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵

$$B=egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix}$$

称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为 $1$。 在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种[[品牌]]牙膏的人数百分比之和为$1$。

1. 用转移概率矩阵预测[[市场占有率]]的变化

有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（1 月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：

$$(3000,7000) egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix} =(3900,6100)$$

　　即：$1$ 月份使用黑妹牙膏的人数将为 $3900$，而使用中华牙膏的人数将为 $6100$。

　　假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到 2 月份的情况为：

$$egin{aligned}(3900,6100)egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix}&=(3000,7000)egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix}egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix}\&=(3000,7000)egin{bmatrix}60\% & 40\%\30\% & 70\%end{bmatrix}^2\&=(4170,5830)end{aligned}$$

　　这里

$$egin{bmatrix}60\% & 4\%\30\% & 70\%end{bmatrix}^2$$

称为二步转移矩阵，也即由 12 月份的情况通过 $2$ 步转移到 2 月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， $k$ 步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的 $k$ 次方。可以证明，$k$ 步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为 $1$。

11.2.2 State Transition Matrix and Diagram关于转移概率介简洁清楚。