Bayesian Personalized Ranking（BPR个性化排序）

如题，在推荐系统中我们在推荐给用户的商品中一定是需要先后顺序的，即我们需要关心的是用户将会更喜欢我们所推荐的商品，从而得到–个性化排序。但是没错，前几篇所整理的方法目的也是为了预测用户喜好，但往往我们只能通过观察到的正例去估计暗含着负例与缺失值的“？”中，而实际填充也如上图一样，一般用0做填充。然后基于此计算出得分，从某种意义上也可以得到用户优先级的排序，所以首先同样的我们需要解决的问题还是：
对于用户集U和物品集I的对应的 U × I 的预测排序矩阵 X，避免矩阵分解所需要的稠密性，同样采取分解为两个矩阵，即：X=WHT然后同样需要寻找最好的W和H，使其与真正X的误差最小，但是与先前的SVD不同，不是尝试对项目打分再排序，而且从整个思想上进行优化，所以作为先验与后验的桥梁----贝叶斯的思想。

**首先为了排序，引入三元组的概念：即如果用户u在同时有物品 i 和 j 的时候点击了 i，那么定义三元组<u,i,j><u,i,j>，即对用户u来说，i 的排序要比 j 靠前。如上图中，在左侧显示了观测数据和一些未知的“？”数据，三元组处理后，变成在右侧的，“+” 表示用户更喜欢项 i 大于 j 项；“-” 表示更喜欢j而不是i。

基于用户的全序关系的贝叶斯就变成：
P(θ∣>u​)=P(>u​)P(>u​∣θ)P(θ)​
其中W和H用θ表示，为了得到最好的W，H，即得到最好的θ，需要优化后面的这一堆，同样的分母（某用户的全序，对所有的都是物品一样）一样，可以先舍去不考虑。那么对于分子第一项可以有最大似然估计：u∈U∏​P(>u​∣θ)=(u,i,j)∈(U×I×I)∏​P(i>u​j∣θ)δ((u,i,j)∈D)(1−P(i>u​j∣θ))δ((u,j,i)̸​∈D)其中δ(b)={10​ifbistrueelse​
P(i >u j | θ)即<u,i,j>，i 排名高于 j。
但是其实，既然是排序–定义使 i 大于 j，那么就使P(i >u j|θ)出现的概率越大越好就行了。那么P(i>u​j∣θ)=σ(xuij​(θ))，其中σ函数用于优化计算而且如果要是一方的概率越大，那么另一方就小就好，那么自然期望他们之间的差异就越大即：xuij​=xui​−xuj​而且这就已经直接是预测矩阵X中的对应位置的值了。即分子第一项变为：u∈U∏​P(>u​∣θ)=(u,i,j)∈D∏​σ(xui​−xuj​)
然后分子第二项P(θ)，直接使用贝叶斯假设，即 θ 符合正太分布，而总所周知，正太分布的对数形式是跟∣∣θ∣∣2成比的！(除了优化式子外，居然还能曲线救国，漂亮的完成了正则化的作用？？所以直接假设使用参数符合正太分布的操作设计很巧妙呀）那么整个下来的的式子就直接变成了：lnP(θ∣>u​)∝lnP(>u​∣θ)P(θ)=ln(u,i,j)∈D∏​σ(xui​−xuj​)+lnP(θ)=(u,i,j)∈D∑​lnσ(xui​−xuj​)+λ∣∣θ∣∣2

然后同样让我们求导，让我们使用梯度。（不过这里需要使用梯度上升法，因为为了求最大值，即求“上坡”）∂θ∂lnP(θ∣>u​)​∝(u,i,j)∈D∑@font-face { font-family: "autolinktags"; src: url("https://www.seowoai.com/zb_users/plugin/AutoLinkTags/style/fonts/iconfont.woff2") format("woff2"), url("https://www.seowoai.com/zb_users/plugin/AutoLinkTags/style/fonts/iconfont.woff") format("woff"), url("https://www.seowoai.com/zb_users/plugin/AutoLinkTags/style/fonts/iconfont.ttf") format("truetype"); font-weight:normal; font-style:normal; }.tagslink::after { content:"\e613"; margin:2px 0 0 0px; font-size:12px; font-family:"autolinktags"; display:inline-block; vertical-align:top; }