组合数学 错排问题【装错信封问题】【递归】

n个人，每个人都有一件礼物想送给他人，他们决定把礼物混在一起，然后每个人随机拿走一件，问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少？ 输出结果保留8位小数，为了保证精度，我们用字符串作为返回类型。 输入:n,m (0<n<100, 0<=m<=n) 例如： n = 2，m = 1，输出：0.00000000； n = 99，m = 0，输出：0.36787944 ......
注：上述题目来源http://club.csdn.net/module/club/student/programming_challenges

分析：

n个人的排列数是n的阶乘n！，随机选取m个人作为拿到自己礼物的一组，有Cnm种方法，假设用D（n-m）表示剩下的n-m个人全部拿错的方法数，那么答案就是：

D（n-m）*Cnm/n!.

问题是D（n-m）如何计算呢？

这个涉及到组合数学里面的错排问题。先看下面的例题。

（下面的资料来源：http://blog.csdn.net/fisher_jiang/article/details/2493805）

组合学中有这样一个问题：某人给五个朋友写信，邀请他们来家中聚会。请柬和信封交由助手去处理。

粗心的助手却把请柬全装错了信封。请问：助手会有多少种装错的可能呢？

这个问题是是由当时有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667—1748)的儿子

丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，17OO一1782)提出来的。

瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

例题：

    用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

(1)b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。　　　　

(2)ｂ装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。

总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。

a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]

　　这是递推公式，令ｎ＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。

    D(1)＝0，D(2)＝1，D(3)＝2，D(4)＝9，D(5)＝44

答案是44种。

关于错排公式，可以参考百度百科的详细解释：

http://baike.baidu.com/link?url=HXwg_a83XxbwAMjVLaEOvLJgCA7HxurXM17dDeDbbeae3bsl1kT0BYm0YeZBcx49

也可以参考维基百科的解释：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98

所以：真正编程时应考虑采用错排公式直接求解，最好不要用递推公式求解，否则在效率上可能会大打折扣。

来自大佬博客

http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/3524551.html