参考：可汗学院

从二项分布推导泊松分布

  二项分布：P(X=k)=Cnk​⋅pk⋅(1−p)n−k

抛硬币

  以抛硬币为例，p可以表示抛一次硬币，朝上的概率，P(X=k)表示抛n次硬币后，k个硬币朝上的概率。

车流量估计

  将抛硬币的场景转换为估计车流量的场景：在一个小时内，经过路口A的车辆数目为k的概率P(X=k)。车流量场景于抛硬币场景相比，加入了时间约束。如果我们现在继续用二项分布来解决该场景，需要对时间进行离散化。

• 假设一个小时平均车流量是λ
• 将一个小时的观测近似为3600次一秒的观测，即n=3600
• 则一秒钟，车辆通过的概率p=3600λ​ (PS：此处不够严谨，稍后会介绍)

一小时内，经过路口A的车辆数目为k的概率:
P(X=k)=C3600k​⋅(3600λ​)k⋅(1−3600λ​)3600−k

  然而，p=3600λ​表示的是一辆汽车在一次观测(我们假设的是一秒)中通过路口A的概率。一秒中，可能会有多辆车经过，因此，时间间隔必须足够小以保证一个时间间隔内只有一辆车通过，即n→∞。
P(X=k)=n→∞lim​ Cnk​⋅(nλ​)k⋅(1−nλ​)n−k=n→∞lim​k!n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)​⋅nkλk​⋅(1−nλ​)n⋅(1−nλ​)−k={n→∞lim​nkn⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)​}⋅{k!λk​}⋅{n→∞lim​(1−nλ​)n}⋅{n→∞lim​(1−nλ​)−k}=1⋅k!λk​eλ⋅1=k!λk​eλ

结论

  当二项分布的n很大，p很小时，可以近似为泊松分布。